训练指南 UVALive - 4287 （强连通分量+缩点）

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Proving Equivalences

UVALive - 4287

题意

有n个命题，已知其中的m个推导，要证明n个命题全部等价（等价具有传递性），最少还需要做出几次推导。

题解

由已知的推导可以建一张无向图，则问题变成了最少需要增加几条边能使图变成强连通图。找出所有的强连通分量，将每一个连通分量视作一个大节点，则整张图变成了一张DAG。设出度为0的大节点个数为a，入度为0的大节点个数为b，则答案就是max(a,b)。为什么是这样呢？因为要使等价证明前进下去，每个大节点的出度和入度都必须不能是0。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+50;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
vector<int>G[maxn];
int pre[maxn],lowlink[maxn],sccno[maxn],dfs_clock,scc_cnt;
stack<int>S;
void dfs(int u){
    pre[u]=lowlink[u]=++dfs_clock;
    S.push(u);
    for(int i=0;i<G[u].size();i++){
        int v=G[u][i];
        if(!pre[v]){
            dfs(v);
            lowlink[u]=min(lowlink[u],lowlink[v]);
        }
        else if(!sccno[v]){
            lowlink[u]=min(lowlink[u],pre[v]);
        }
    }
    if(lowlink[u]==pre[u]){
        scc_cnt++;
        for(;;){
            int x=S.top();S.pop();
            sccno[x]=scc_cnt;
            if(x==u)break;
        }
    }
}
void find_scc(int n){
    dfs_clock=scc_cnt=0;
    memset(sccno,0,sizeof(sccno));
    memset(pre,0,sizeof(pre));
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(!pre[i])dfs(i);
}
int in[maxn],out[maxn];

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    std::cout.tie(0);
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        for(int i=0;i<=n;i++)G[i].clear();
        for(int i=0;i<m;i++){
            int u,v;
            cin>>u>>v;u--;v--;
            G[u].push_back(v);
        }
        find_scc(n);
        for(int i=1;i<=scc_cnt;i++)in[i]=out[i]=1;
        for(int u=0;u<n;u++)
        for(int i=0;i<G[u].size();i++){
            int v=G[u][i];
            if(sccno[u]!=sccno[v])in[sccno[v]]=out[sccno[u]]=0;
        }
        int a=0,b=0;
        for(int i=1;i<=scc_cnt;i++){
            if(in[i])a++;
            if(out[i])b++;
        }
        if(scc_cnt==1)cout<<0<<endl;
        else cout<<max(a,b)<<endl;
    }
    return 0;
}